Python 中的曲线曲率

Manav Narula 2021年8月10日 2021年4月29日
Python 中的曲线曲率

曲率是曲线偏离直线的量度。例如,圆的曲率是半径的倒数,而直线的曲率是 0。

在本教程中,我们将学习如何使用 numpy 模块在 Python 中计算曲线的曲率。我们还将计算其他量,例如速度,加速度等。你可以在下面的图片中找到必要的公式。

曲率公式

我们将使用以下曲线。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

coordinates = np.array([[1,1],[1.5,2],[2,3],[2.5,3.5],[3,4],[3.5,4.25],[4,4.5]])

plt.plot(coordinates[:,0], coordinates[:,1])

输出:

曲率曲线

对于与曲线有关的此类问题,我们需要计算给定曲线在每个点的导数。在这种情况下使用 numpy.gradient() 方法,该方法返回 N 维数组的梯度。

在下面的代码中,我们计算所有点的曲线速度。

x_t = np.gradient(coordinates[:, 0])
y_t = np.gradient(coordinates[:, 1])

vel = np.array([ [x_t[i], y_t[i]] for i in range(x_t.size)])

print(vel)

输出:

[[0.5   1.   ]
 [0.5   1.   ]
 [0.5   0.75 ]
 [0.5   0.5  ]
 [0.5   0.375]
 [0.5   0.25 ]
 [0.5   0.25 ]]

在计算速度之后,我们继续进行速度。现在,速度就是速度的模数。但是,应该知道,到目前为止,所有事物都是 t 的函数(t 表示时间间隔)。因此,我们将在每一秒的时间间隔内将速度表示为数值的 numpy 数组。

请参见下面的代码。

speed = np.sqrt(x_t * x_t + y_t * y_t)

print(speed)

输出:

[1.11803399 1.11803399 0.90138782 0.70710678 0.625      0.55901699
 0.55901699]

现在,为了计算切线,我们将执行一些变换,以确保速度和速度的大小相同。同样,我们需要能够将矢量值速度函数除以标量速度数组。

tangent = np.array([1/speed] * 2).transpose() * vel

print(tangent)

输出:

[[0.4472136  0.89442719]
 [0.4472136  0.89442719]
 [0.5547002  0.83205029]
 [0.70710678 0.70710678]
 [0.8        0.6       ]
 [0.89442719 0.4472136 ]
 [0.89442719 0.4472136 ]]

同样,我们现在可以隔离切线的分量并计算其梯度以找到法线向量。

现在,我们将在下面的代码中实现提供的曲率公式。

ss_t = np.gradient(speed)
xx_t = np.gradient(x_t)
yy_t = np.gradient(y_t)

curvature_val = np.abs(xx_t * y_t - x_t * yy_t) / (x_t * x_t + y_t * y_t)**1.5

print(curvature_val)

输出:

[0.         0.04472136 0.17067698 0.26516504 0.256      0.17888544
 0.        ]
Author: Manav Narula
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Manav is a IT Professional who has a lot of experience as a core developer in many live projects. He is an avid learner who enjoys learning new things and sharing his findings whenever possible.

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