二分查詢排序
二分查詢排序是一種比較型排序演算法。它是插入排序演算法的修改版。在這個演算法中，我們同樣維護了一個已排序和一個未排序的子陣列。唯一不同的是，我們使用二進位制查詢而不是線性搜尋來尋找元素的正確位置。它通過減少所需的比較次數來幫助快速排序演算法。
二分查詢排序演算法
假設我們有一個未排序的陣列 A[]，包含 n 個元素。第一個元素，A[0]，已經被排序並在排序子陣列中。
-
將未排序子陣列
A[1]中的第一個元素標記為鍵。 -
使用二進位制查詢找到排序子陣列中
A[1]的正確位置p。 -
將
p的元素向右移動 1 步，並將A[1]插入其正確位置。 -
對未排序子陣列中的所有元素重複上述步驟。
二分查詢排序示例
假設我們有一個陣列：(5,3,4,2,1,6). 我們將使用插入排序演算法對其進行排序。
| 排序後的子陣列 | 未排序子陣列 | 陣列 |
|---|---|---|
| ( 5 ) | ( 3, 4, 2, 1, 6) | (5, 3, 4, 2, 1, 6) |
- 第一次迭代
鍵：A[1]=3。
二進位制查詢：將 3 的位置作為索引 0 返回。右移排序陣列中的其餘元素。
| 排序子陣列 | 未排序子陣列 | 陣列 |
|---|---|---|
| ( 3 , 5) | (4, 2, 1, 6) | (3, 5, 4, 2, 1, 6) |
- 第二次迭代
鍵：A[2]=4。
二進位制查詢：返回 4 的位置作為索引 1。右移排序陣列中的其餘元素。
| 排序子陣列 | 未排序子陣列 | 陣列 |
|---|---|---|
| ( 3, 4, 5) | (2, 1, 6) | (3, 4, 5, 2, 1,6) |
- 第三次迭代
鍵：A[3]=2。
二進位制查詢：將 2 的位置作為索引 0 返回。對排序陣列中其餘元素進行右移。
| 排序子陣列 | 未排序子陣列 | 陣列 |
|---|---|---|
| ( 2, 3, 4, 5) | (1, 6) | (2, 3, 4, 5, 1,6) |
- 第四次迭代
鍵：A[4]=1。
二進位制查詢：將 1 的位置作為索引 0 返回。右移排序陣列中的其餘元素。
| 排序子陣列 | 未排序子陣列 | 陣列 |
|---|---|---|
| ( 1, 2, 3, 4, 5) | (6) | (1, 2, 3, 4, 5, 6) |
- 第五次迭代
鍵：A[5]=6。
二進位制查詢：將 6 的位置返回為索引 5。右邊沒有元素。
| 排序子陣列 | 未排序子陣列 | 陣列 |
|---|---|---|
| ( 1, 2, 3, 4, 5, 6) | () | (1, 2, 3, 4, 5, 6) |
我們在第四次迭代後得到排序陣列–(1 2 3 4 5 6)。
二分查詢排序演算法的實現
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int binarySearch(int a[], int x, int low, int high)
{
if (high <= low)
return (x > a[low]) ?
(low + 1) : low;
int mid = (low + high) / 2;
if (x == a[mid])
return mid + 1;
if (x > a[mid])
return binarySearch(a, x,
mid + 1, high);
return binarySearch(a, x, low,
mid - 1);
}
void binarySort(int a[], int n)
{
for (int i = 1; i < n; ++i)
{
int j = i - 1;
int key = a[i];
int pos = binarySearch(a, key, 0, j);
while (j >= pos)
{
a[j + 1] = a[j];
j--;
}
a[j + 1] = key;
}
}
int main() {
int n = 6;
int arr[6] = {5, 3, 4, 2, 1, 6};
cout << "Input arr: ";
for (int i = 0; i < n; i++) {
cout << arr[i] << " ";
}
cout << "\n";
binarySort(arr, n); // Sort elements in ascending order
cout << "Output arr: ";
for (int i = 0; i < n; i++) {
cout << arr[i] << " ";
}
cout << "\n";
}
二分查詢排序演算法的複雜度
時間複雜度
- 平均情況
二進位制查詢與插入排序中使用的線性搜尋的線性複雜度 n 相比，具有對數複雜度 logn。我們對 n 元素使用二分查詢排序，使我們的時間複雜度 nlogn。因此，時間複雜度約為 [O Theta]：O(nlogn)。
- 最壞情況
最壞的情況發生在陣列反向排序時，並且需要最大的移位次數。最壞情況下的時間複雜度是 [Big O]：O(nlogn)。
- 最佳情況
最好的情況是陣列已經排序，不需要移動元素。最佳情況下的時間複雜度是 [Big Omega]：O(n)。
空間複雜度
二分查詢排序演算法的空間複雜度為 O(1)，因為除了一個臨時變數外，不需要額外的記憶體。
Harshit Jindal has done his Bachelors in Computer Science Engineering(2021) from DTU. He has always been a problem solver and now turned that into his profession. Currently working at M365 Cloud Security team(Torus) on Cloud Security Services and Datacenter Buildout Automation.
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